Учитель математики МОУ
«Мултановская СОШ»
Маханова Самига Галимжановна
с. М у л т а н о в о
Февраль 2011г.
Тема урока: «Число е. Производная показательной функции».
Цель: Ввести понятие «экспоненты» , «натурального логарифма», сформировать понятие о производной показательной функции у = е х, первообразной показательной функции.
Образовательная:
Повторить и углубить знания по теме «Показательная функция. Свойства показательной функции»;
Повторить правила дифференцирования функции;
Познакомить учащихся с понятием «экспоненты» (числа е);
Познакомить учащихся с формулами производной показательной функции у = а х и у = а кх +b ;
Познакомить с формулой первообразной показательной функции;
Формировать навыки вычисления производной показательной функции, пользуясь правилами и формулами дифференцирования.
Развивающая:
Развивать и совершенствовать применение правил дифференцирования
для показательной функции;
Научить учащихся применять электронные информационные технологии при обучении и подготовке к урокам математики.
Повышать графическую культуру учащихся;
Содействовать развитию умений осуществлять самооценку учебной деятельности.
Воспитательная:
Создавать для учащихся положительную мотивацию к уроку математики путем вовлечения каждого в активную деятельность;
Воспитывать потребность оценивать свою деятельность и работу товарищей;
Помочь осознать ценности совместной работы;
Воспитывать у учащихся аккуратность, культуру математической речи.
Оборудование к уроку:
Компьютерный класс (8 ноутбуков +1ноутбук для демонстрации), проектор, презентация, раздаточный материал.
Ход урока:
Организация урока, объявление темы и цели урока:
Сегодня на уроке мы изучаем новую тему «Производная показательной функции». Наша цель: (Слайд2.) познакомиться с понятием «экспоненты», «натурального логарифма», с теоремой о дифференцировании показательной функции и научиться выполнять дифференцирование показательной функции.
Эпиграфом к нашему уроку я выбрала стихи Б. Слуцкого: (слайд 3.)
…Показательная функция
Не случайно родилась,
В жизнь органически влилась
И движением прогресса занялась.
Б. Слуцкий
I. Актуализация опорных знаний:
Устная фронтальная работа с классом:
Сформулируйте определение показательной функции (Слайд 5.)
Перечислите по графику основные свойства показательной функции.
(Слайд 6)
Свойства показательной функции: (слайд 4)
Область определения функции
Область значений показательной функции
График функции с осью ОУ пересекается в точке (0;1) и не пересекается с осью ОХ.
Показательная функция принимает положительные значения на всей числовой прямой.
Перечислите свойства показательной функции при а 1.
Перечислите свойства показательной функции при 0 .
Дайте определение производной функции в точке х 0 . (слайд 7)
Сформулируйте геометрический смысл производной. (слайд 8)
А сейчас вспомним правила дифференцирования функций:
2) Игра «Найди пары». (слайд 9.)
Для формул из первого столбика найдите правильные ответы из второго столбика и прочитайте слово из третьего столбика. Устно, с комментированием.
| (u +v)" | cos x | E |
| (u v)" | n x n-1 | П |
| (u / v)" | -1 / sin 2 x | А |
| (x n)" | Sin x | Н |
| C" | u" v + u v" | К |
| (Cu)" | 1 / cos 2 x | Т |
| (sin x)" | (u "v - u v") / v 2 | С |
| (cos x)" | 0 | О |
| (tg x)" | u" + v" | Э |
| (ctg x)" | C u" | Н |
| Э | u" + v" | (u +v)" |
| К | u" v + u v" | (u v)" |
| С | (u "v - u v") / v 2 | (u / v)" |
| П | n x n-1 | (x n)" |
| О | 0 | C" |
| Н | C u" | (Cu)" |
| Е | Cos x | (sin x)" |
| Н | -Sin x | (cos x)" |
| Т | 1 / cos 2 x | (tg x)" |
| А | -1 / sin 2 x | (ctg x)" |
Проверьте свой ответ по таблице: (слайд 10 )
II .Изучение новой темы:
1) Исследовательская работа с помощью ЭОР ресурсов за ноутбуками. Работа в паре.
Откройте в Интернете Цифровые образовательные ресурсы по алгебре и началам анализа 11 класс тема: «Производные показательной функции, числа е и натурального логарифма.» модуль И1
Внимательно ознакомьтесь с каждым элементом Модуля, запишите в тетрадях основные формулы, ознакомьтесь с их доказательствами.
Выполните задания для самоконтроля. Проверьте итог своих работ по «Статистике» (С).
План работы по модулю:
Показательная функция с основанием е. – (Знакомство с экспонентой)
Формула производной показательной функции. – (Вывод формулы производной функции у = е х)
Задание для самоконтроля. – (тест с выбором ответа)
Определение натурального логарифма ln. – (ln x = log e x)
Формула производной показательной функции. – (вывод формулы производной показательной формулы)
Задание для самоконтроля. – (Задание с кратким ответом)
Первообразная показательной функции – (вывод формулы производной показательной функции)
Задание для самоконтроля – (тест с выбором ответа)
2)
C
л. 15-18
Фронтальный опрос, по изученному материалу. Первичное закрепление материала. Применение формул производной показательной функции.
(e х )" = e х ;
(e кх + b )" = k e kx + b ;
(a x )" = a x ∙ ln a ;
(a kx + b )" = k a Kx +b ∙ ln a
F(a
x
) =
Ученик работает самостоятельно у доски:
Решение: f(x) = x 2 * 2 –x; D(f) = R; f " = 2x * 2 –x – x 2 * 2 -x ln2, D(f) =R ,
2x * 2 –x – x 2 * 2 –x ln2 = 0;
X * 2 -x (2 – x * ln 2) = 0; - min + max - f " (x)
X * 2 –x = 0 ; 2 – x * ln x = 0 2 – x > 0, x = 0; 2 – x * ln2 = 0 0 2/ln2 f(x)
Ответ: х max = 2 / ln2; x min = 0
Самостоятельная работа обучающего характера:
Самостоятельная работа в паре за ноутбуками. Интерактивный модуль П1 «производная показательной функции. Число е. Натуральный логарифм». – тест из 5 заданий. При открытии модуля на каждом компьютере выходят разные задания.
V.Итог урока: Что нового вы узнали на уроке?
Какие моменты урока для вас были наиболее интересными?
Кто доволен своей работой на уроке?
VI. Домашнее задание: п. 41 ; № 539(а,б,г); 540(в); 542(а,б); 544(б).
Интерактивный тест с компьютером. Свойства показательной функции К1.
На рабочем столе каждого компьютера откройте Модуль Cл. 11
«Свойства показательной функции К1». Нажмите «мышкой» на «воспроизвести модуль». Вам выйдет тест из 5 заданий.
Выполните 1 -задание Модуля, нажмите «мышкой» на номер верного ответа или запишите ответ в тесте. Нажмите «мышкой » на «ответить» и переходите к другому заданию.
Если выполнили задание неверно, откройте подсказку,
найдите ошибку в своем решении.
Проверьте итог своих работ по «Статистике» (С).
Производная экспоненты равна самой экспоненте (производная e в степени x равна e в степени x):
(1)
(e x )′
= e x
.
Производная показательной функции с основанием степени a
равна самой функции, умноженной на натуральный логарифм от a
:
(2)
.
Вывод формулы производной экспоненты, e в степени x
Экспонента - это показательная функция, у которой основание степени равно числу e
,
которое является следующим пределом:
.
Здесь может быть как натуральным, так и действительным числом. Далее мы выводим формулу (1) производной экспоненты.
Вывод формулы производной экспоненты
Рассмотрим экспоненту, e
в степени x
:
y = e x
.
Эта функция определена для всех .
Найдем ее производную по переменной x
.
По определению, производная является следующим пределом:
(3)
.
Преобразуем это выражение, чтобы свести его к известным математическим свойствам и правилам. Для этого нам понадобятся следующие факты:
А)
Свойство экспоненты :
(4)
;
Б)
Свойство логарифма :
(5)
;
В)
Непрерывность логарифма и свойство пределов для непрерывной функции:
(6)
.
Здесь - некоторая функция, у которой существует предел и этот предел положителен.
Г)
Значение второго замечательного предела :
(7)
.
Применяем эти факты к нашему пределу (3). Используем свойство (4):
;
.
Сделаем подстановку .
Тогда ;
.
В силу непрерывности экспоненты,
.
Поэтому при ,
.
В результате получаем:
.
Сделаем подстановку .
Тогда .
При ,
.
И мы имеем:
.
Применим свойство логарифма (5):
.
Тогда
.
Применим свойство (6). Поскольку существует положительный предел и логарифм непрерывен, то:
.
Здесь мы также воспользовались вторым замечательным пределом (7). Тогда
.
Тем самым мы получили формулу (1) производной экспоненты.
Вывод формулы производной показательной функции
Теперь выведем формулу (2) производной показательной функции с основанием степени a
.
Мы считаем, что и .
Тогда показательная функция
(8)
Определена для всех .
Преобразуем формулу (8). Для этого воспользуемся свойствами показательной функции и логарифма .
;
.
Итак, мы преобразовали формулу (8) к следующему виду:
.
Производные высших порядков от e в степени x
Теперь найдем производные высших порядков. Сначала рассмотрим экспоненту:
(14)
.
(1)
.
Мы видим, что производная от функции (14) равна самой функции (14). Дифференцируя (1), получаем производные второго и третьего порядка:
;
.
Отсюда видно, что производная n-го порядка также равна исходной функции:
.
Производные высших порядков показательной функции
Теперь рассмотрим показательную функцию с основанием степени a
:
.
Мы нашли ее производную первого порядка:
(15)
.
Дифференцируя (15), получаем производные второго и третьего порядка:
;
.
Мы видим, что каждое дифференцирование приводит к умножению исходной функции на .
Поэтому производная n-го порядка имеет следующий вид:
.
При
выводе самой первой формулы таблицы
будем исходить из определения
производнойфункции в точке. Возьмем ,
где x
–
любое действительное число, то есть, x
–
любое число из области определения
функции .
Запишем предел отношения приращения
функции к приращению аргумента при :
Следует заметить, что под знаком предела получается выражение , которое не являетсянеопределенностью ноль делить на ноль, так как в числителе находится не бесконечно малая величина, а именно ноль. Другими словами, приращение постоянной функции всегда равно нулю.
Таким образом, производная постоянной функции равна нулю на всей области определения .
Производная степенной функции.
Формула
производной степенной функции имеет
вид 
,
где показатель степени p
–
любое действительное число.
Докажем сначала формулу для натурального показателя степени, то есть, для p = 1, 2, 3, …
Будем
пользоваться определением производной.
Запишем предел отношения приращения
степенной функции к приращению
аргумента:
Для
упрощения выражения в числителе обратимся
к формуле бинома
Ньютона:
Следовательно,
Этим доказана формула производной степенной функции для натурального показателя.
Производная показательной функции.
Вывод формулы производной приведем на основе определения:
Пришли к неопределенности. Для ее раскрытия введем новую переменную , причем при . Тогда . В последнем переходе мы использовали формулу перехода к новому основанию логарифма.
Выполним
подстановку в исходный предел:
Если
вспомнить второй
замечательный предел, то придем к
формуле производной показательной
функции:
Производная логарифмической функции.
Докажем
формулу производной логарифмической
функции для всех x
из
области определения и всех допустимых
значениях основания a
логарифма.
По определению производной имеем:
Как
Вы заметили, при доказательстве
преобразования проводились с использованием
свойств логарифма. Равенство 
справедливо
в силу второго замечательного предела.
Производные тригонометрических функций.
Для вывода формул производных тригонометрических функций нам придется вспомнить некоторые формулы тригонометрии, а также первый замечательный предел.
По
определению производной для функции
синуса имеем 
.
Воспользуемся
формулой разности синусов:
Осталось
обратиться к первому замечательному
пределу:
Таким образом, производная функции sin x есть cos x .
Абсолютно
аналогично доказывается формула
производной косинуса.
Следовательно, производная функции cos x есть –sin x .
Вывод
формул таблицы производных для тангенса
и котангенса проведем с использованием
доказанных правил дифференцирования
(производная
дроби).
Производные гиперболических функций.
Правила
дифференцирования и
формула производной показательной
функции из таблицы производных позволяют
вывести формулы производных гиперболического
синуса, косинуса, тангенса и котангенса.
Производная обратной функции.
Чтобы при изложении не было путаницы, давайте обозначать в нижнем индексе аргумент функции, по которому выполняется дифференцирование, то есть, - это производная функции f(x) по x .
Теперь сформулируем правило нахождения производной обратной функции.
Пусть
функции y
= f(x)
и x
= g(y)
взаимно
обратные, определенные на
интервалах и соответственно.
Если в точке существует
конечная отличная от нуля производная
функции f(x)
,
то в точке существует
конечная производная обратной
функции g(y)
,
причем 
.
В другой записи 
.
Можно
это правило переформулировать для
любого x
из
промежутка ,
тогда получим 
.
Давайте проверим справедливость этих формул.
Найдем
обратную функцию для натурального
логарифма 
(здесь y
–
функция, а x
-
аргумент). Разрешив это уравнение
относительно x
,
получим (здесь x
–
функция, а y
–
ее аргумент). То есть, 
и взаимно
обратные функции.
Из таблицы
производных видим,
что 
и 
.
Убедимся,
что формулы нахождения производных
обратной функции приводят нас к этим
же результатам:
Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com
Подписи к слайдам:
ПРОИЗВОДНАЯ ПОКАЗАТЕЛЬНОЙ ФУНКЦИИ Число е 11 класс
ПОВТОРЕНИЕ – мать учения!
Определение показательной функции Функция, заданная формулой у = а х (где а >0, а ≠ 1), называется показательной функцией с основанием а.
Свойства показательной функции у = а х а>1 0
Определение производной функции в точке х 0 . при Δ → 0. Производной функции f в точке х 0 называется число, к которому стремится разностное отношение при Δх → 0.
Геометрический смысл производной x ₀ α A y = f(x) 0 x y к = tg α = f " (x ₀) Угловой коэффициент к касательной к графику функции f (x) в точке (х 0 ; f (x 0) равен производной функции f "(x ₀). f(x 0)
Игра: «Найди пары» (u + v)" cos x e (u · v)" n· xⁿ ⁻" п (u / v)" - 1 /(sin² x) a (x ⁿ)" - sin x н C" u" v +u v" к (C u)" 1 / (cos ² x) т (sin x)" (u" v – u v") / v² c (cos x)" 0 o (tg x)" u" + v " э (ctg x)" C u" н
Проверь себя! (u + v)" u" + v" э (u · v)" u"· v + u· v " к (u /v)" (u‘ · v –u · v") / v² с (x ⁿ)" n · x ⁿ ⁻¹ п C" 0 о (Cu)" C u " н (sin x)" Cos x е (cos x)" - sin x н (tg x)" 1 / (cos² x) т (ctg x)" - 1 / (sin² x) а
Экспонента - это степенная функция. Экспонента - функция, где e - основание натуральных логарифмов.
1 у= е х 45° Функция у= е х называется «экспонента» х ₀ =0; tg 45° = 1 В точке (0;1) угловой коэффициент к касательной к графику функции к = tg 45° = 1 - геометрический смысл производной экспоненты Экспонента у = е х
Теорема 1. Функция у = е дифференцируема в каждой точке области определения, и (е)" = е х х х Натуральным логарифмом (ln) называется логарифм по основанию е: ln x = log x е Показательная функция дифференцируема в каждой точке области определения, и (а)" = а ∙ ln a x x Теорема 2 .
Формулы дифференцирования показательной функции (e)" = e ; (e)" = k e ; (a)" = a ∙ ln a ; (a)" = k a ∙ ln a . x kx + b x x x kx + b kx + b kx + b F(a x) = + C; F(e x) = e x +C.
«Упражнения рождают мастерство.» Тацит Публий Корнелий - древнеримский историк
Примеры: Найти производные функций: 1. = 3 е. 2. (е)" = (5х)" е = 5 e . 3. (4)" = 4 ln 4. 4. (2)" = (-7 х)" 2 ∙ ln 2 = -7 ∙ 2 ∙ ln 2 . 5 х 5 х х (3 е)" 5 х -7 х х х -7 х -7 х х
Интересное рядом
Леонард Эйлер 1707 -1783 г.г. Русский ученый – математик, физик, механик, астроном… Ввел обозначение числа е. Доказал, что число е ≈ 2, 718281…-иррациональное. Джон Непер 1550 – 1617 г.г. Шотландский математик, изобретатель логарифмов. В его честь число е называют « неперовым числом».
Рост и убывание функции со скоростью экспоненты называется экспоненциальным
Цели урока: сформировать представление о числе е ; доказать дифференцируемость функции в любой точке х ;рассмотреть доказательство теоремы о дифференцируемости функции ; проверка сформированности умений и навыков при решении примеров на их применение.
Задачи урока.
Образовательная: повторить определение производной, правила дифференцирования, производную элементарных функций, вспомнить график и свойства показательной функции, сформировать умение нахождения производной показательной функции, осуществить контроль знаний с помощью проверочного задания и теста.
Развивающая: способствовать развитию внимания, развитию логического мышления, математической интуиции, умению анализировать, применять знания в нестандартных ситуациях.
Воспитательная: воспитывать информационную культуру, выработать навыки работы в группе и индивидуально.
Методы обучения: словестный, наглядный, деятельный.
Формы обучения: коллективная, индивидуальная, групповая.
Оборудование: учебник “Алгебра и начала анализа” (под редакцией Колмогорова), все задания группы В “Закрытый сегмент” под редакцией А.Л. Семенова, И.В.Ященко, мультимедийный проектор.
Этапы урока:
- Сообщение темы, цели, задач урока (2мин.).
- Подготовка к изучению нового материала через повторение раннее изученного (15 мин.).
- Ознакомление с новым материалом (10 мин.)
- Первичное осмысление и закрепление новых знаний (15 мин.).
- Задание на дом (1 мин.).
- Подведение итогов (2 мин.).
Ход урока
1. Организационный момент.
Объявляется тема урока: “Производная показательной функции. Число е.”, цели, задачи. Слайд 1. Презентация
2. Активизация опорных знаний.
Для этого на I этапе урока ответим на вопросы и решим задачи на повторение. Слайд 2.
У доски два ученика работают по карточкам, выполняя задания типа В8 ЕГЭ.
Задание для первого ученика:
Задание для второго ученика:
Остальные учащиеся выполняют самостоятельную работу по вариантам:
| Вариант 1 | Вариант 2 | ||
| 1. |  |
1. |  |
| 2. |  |
2. |  |
| 3. |  |
3. |  |
| 4. |  |
4. |  |
| 5. |  |
5. |  |
Пары обмениваются решениями и проверяют работы друг у друга, сверяясь сответами по слайду 3.
Рассматриваются решения и ответы учащихся, работающих у доски.
Проверка домашнего задания №1904. Демонстрируется слайд 4.
3. Актуализация темы урока, создание проблемной ситуации.
Учитель просит дать определение показательной функции и перечислить свойства функции у = 2 х. Графики показательных функций изображаются в виде гладких линий, к которым в каждой точке можно провести касательную. Но существование касательной к графику функции в точке с абсциссой х 0 равносильно её дифференцируемости в х 0.
Для графиков функции у = 2 x и у = 3 x проведем к ним касательные в точке с абсциссой 0. Углы наклона этих касательных к оси абсцисс приблизительно равны 35° и 48° соответственно. Слайд 5.
Вывод: если основание показательной функцииа увеличивается от 2 до, например, 10, то угол между касательной к графику функции в точки х=0 и осью абсцисс постепенно увеличивается от 35° до 66,5°. Логично предположить, что существует основание а , для которого соответствующий угол равен 45
Доказано, что существует такое число большее 2 и меньшее 3.. Его принято обозначать буквой е . В математике установлено, что число е – иррациональное, т.е. представляет собой бесконечную десятичную непериодическую дробь.
е = 2,7182818284590…
Замечание (не очень серьезное). Слайд 6.
На следующем слайде 7 появляется портреты великих математиков – Джона Непера, Леонарда Эйлера и краткая справка о них.
- Рассмотреть свойства функции у=e x
- Доказательство теоремы 1. Слайд 8.
- Доказательство теоремы 2. Слайд 9.
4. Динамическая пауза или разрядка для глаз.
(Исходное положение - сидя, каждое упражнение повторяется 3-4 раза):
1. Откинувшись назад, сделать глубокий вдох, затем, наклонившись вперед, выдох.
2. Откинувшись на спинку стула, прикрыть веки, крепко зажмурить глаза, не открывая век.
3. Руки вдоль туловища, круговые движения плечами назад и вперёд.
5. Закрепление изученного материала.
5.1 Решение упражнений №538, №540, №544в.
5.2 Самостоятельное применение знаний, умений и навыков. Проверочная работа в форме теста. Время выполнения задания – 5 мин.
Критерии оценки:
“5” – 3 балла
“4” – 2 балла
“3” - 1 балл
6. Подведение итогов и результатов работы на уроке.
- Рефлексия.
- Выставление оценок.
- Сдача тестовых заданий.
7. Задание на дом: п. 41 (1, 2); № 539 (а, б, г); 540 (в, г), 544 (а, б).
“Закрытый сегмент” №1950, 2142.